Ziegenproblem II

Wir haben jetzt also gelesen, dass die Wahrscheinlichkeit mit einem Wechsel beim Ziegenproblem zu gewinnen deshalb 2/3 ist und nicht nur 1/2, weil es in zwei von drei Fällen kein Zufall ist, wenn eine Tür geschlossen bleibt. Es liegt daran, dass sie sich nicht öffnen darf, weil der Gewinn dahinter steht. Nur in einem Drittel ist es Zufall, dann aber lohnt sich der Wechsel in beiden Fällen nicht.

Was aber, wenn unsere Nebenbedingungen nicht gelten? Das ist etwas komplexer, vor allem weil unterschiedliche Spielregeln denkbar sind. Dürfen wir wechseln, wenn sich unsere Tür öffnet und nichts dahinter ist? Oder wenn sich eine andere Tür öffnet und den Gewinn enthält?

Wohlgemerkt, sind wir so dumm, dass wir selbst dann nicht wechseln, wenn wir sehen, dass der Gewinn hinter einer anderen Tür steht, werden wir in zwei von drei Fällen verlieren. Aber spannender ist natürlich die Frage, wie sieht es aus, wenn wir nie wechseln, außer wir sehen den Gewinn oder merken, dass unsere Tür leer ist. Und wie ist es, wenn wir ausscheiden, sobald einer von beiden Fällen eintritt?

Wenn Nebenbedingung 1 nicht gilt

Ohne die beiden Nebenbedingungen liegen die Chancen bei 50 Prozent, sich mit einem Wechsel zu verbessern, wenn sich eine Tür öffnet die wir weder gewählt haben noch die ein Auto enthält. Warum? Am Ende darf ein Kandidaten ohne zu wechseln doch nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 gewinnen, wenn er zufällig eine von drei Türen mit gleicher Gewinnwahrscheinlichkeit gewählt hat.

Ganz einfach, hier gibt es noch einen anderen Fall. Gilt nur Nebenbedingung 1, nach der sich die vom Kandidat gewählte Tür nicht öffnen darf, dann ist in einem von drei Fällen ein Auto hinter der Tür, die sich gerade geöffnet hat. Denn das ist ja die Ausgangswahrscheinlichkeit für jede Tür, dass dahinter ein Auto steht. Nehmen wir an, dass wir Tür 1 gewählt haben. Es muss sich also Tür 2 oder 3 öffnen. Egal – hinter jeder steht mit 1/3 Wahrscheinlichkeit ein Auto und unser Kandidat ist ausgeschieden.

Tatsächlich liegt unsere Trefferwahrscheinlichkeit für einen Wechsel bei 50 Prozent, wenn wir die Wahl zwischen zwei Türen haben, von denen hinter keiner ein Auto ist. Aber das ist nur in zwei von drei Fällen der Fall. Nach dem ersten Türöffnen ist ja mit 50 Prozent Wahrscheinlichkeit das Auto aufgedeckt. Zu 2/3 darf er weiterspielen – und hier ist die Chance jetzt tatsächlich 50:50. Aber 50 Prozent von 2/3 sind eben auch nur 1/3. Wer nicht wechselt, hat also nur in 50 Prozent der Fälle recht.

Der Kandidat gewinnt also nur in einem von drei Fällen, wenn er ausscheidet, sobald das Auto aufgedeckt wurde. Anders sieht es natürlich aus, wenn der Kandidat auch dann wechseln darf. Wenn hinter Tür 2 sichtbar ein Auto steht wird kaum jemand bestreiten, dass sich wechseln lohnt. Wenn wir nicht wechseln, obwohl wir das Auto sehen, bleibt unsere Siegwahrscheinlichkeit aber auch hier bei 1/3 und wir sind selbst schuld. Sollten wir uns nicht derart dämlich anstellen, dann werden wir auch hier in zwei von drei Fällen gewinnen.

Wenn Nebenbedingung 2 nicht gilt

Etwas schwieriger ist es im zweiten Fall, wenn sich auch die Tür öffnen darf, die der Teilnehmer gewählt hat aber nicht die, hinter der der Gewinn steckt. Nehmen wir wieder an, wir haben Tür 1 gewählt. Mit einem Drittel Wahrscheinlichkeit haben wir auch hier den Gewinn ausgewählt. Also öffnet sich Tür 2 oder 3 – jeder Wechsel bedeutet aber eine Verschlechterung.

In zwei von drei Fällen ist der Gewinn aber hinter Tür 2 oder 3. In diesen beiden Fällen öffnet sich wieder mit 50 Prozent die vom Teilnehmer gewählte Tür und sie ist leer. Der Teilnehmer scheidet aus. 50 Prozent von 2/3 sind auch hier wieder 1/3.

In den anderen 50 Prozent der 2/3 ist der Gewinn hinter der Tür, die wir nicht gewählt haben. Wechseln lohnt sich.

Wenn wir also nach der ersten Runde nicht ausgeschieden sind, dann stehen die Chancen also auch hier 50:50. Aber nur in zwei Drittel der Fälle. Auch hier gewinnen wir also nur mit 1/3 Wahrscheinlichkeit, wenn wir nicht wechseln. So wie es sein sollte.

Auch hier gilt natürlich: Wenn wir noch wechseln dürfen, nachdem sich die von uns gewählte Tür geöffnet hat, lohnt sich ein Wechsel mit mehr als 50 Prozent. Keiner wird bestreiten, dass es sinnvoll ist zu wechseln, wenn unsere Tür sich geöffnet hat und sichtbar leer ist. Auch hier gewinnen wir in 2/3 der Fälle, wenn wir uns nicht dumm anstellen, egal welche Strategie wir verfolgen. Haben wir Tür 1 gewählt ist sie mit 1/3 die richtige. Sie öffnet sich nicht, wir bleiben ihr treu und gewinnen. Ist Tür 2 die richtige (ebenfalls 1/3 Wahrscheinlichkeit), öffnet sich in 50 Prozent der Fälle unsere Tür, wir sehen dass wir falsch liegen und wechseln, in den anderen 50 Prozent öffnet sich die dritte Tür und wir wechseln nicht und verlieren. Die Wahrscheinlichkeit für beide Szenarien ist 1/6 und weil das auch für den Fall gilt, dass der Gewinn hinter Tür 3 liegt gilt 2*1/6 ist 1/3.

Wenn beide Nebenbedingungen nicht erfüllt sind

Für diesen Fall ist völlig klar, dass es reiner Zufall ist, welche Tür sich öffnet. Entsprechend gelten die entsprechenden Gesetze der Wahrscheinlichkeit und die Chancen bei einem Wechsel stehen 50:50. Allerdings gibt es auch hier den Fall, dass wir ausscheiden weil der Gewinn aufgedeckt wurde oder sich unsere Tür öffnet und sie leer ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unsere Tür öffnet uns sie leer ist beträgt 1/3 * 2/3, da sie sich mit 1/3 öffnet und sie mit 2/3 leer ist, also 2/9. Mit 1/3 * 1/3 = 1/9 öffnet sich unsere Tür und sie enthält den Gewinn, wir hören auf.

Bleiben also 6/9 oder 2/3. In diesen Fällen öffnet sich eine andere Tür. In einem von drei Fällten enthält sie das Auto, also 1/3 * 2/3 = 2/9.

Bleiben 4/9. In diesen stehen die Chancen tatsächlich 50:50, so wie wir es erwarten. 50 Prozent von 4/9 sind aber nur 2/9. Zusammen mit dem Fall, dass sich unsere Tür geöffnet hat und ein Auto dahinter war 1/9 haben wir also in 3/9 oder 1/3 der Fälle gewonnen, so wie es die Wahrscheinlichkeitsrechnung erwarten lässt.

Wenn wir immer wechseln, dürfen, auch wenn das Auto oder unsere Tür aufgedeckt wurde, dann steigt unsere Siegwahrscheinlichkeit sogar auf 8/9 – aber natürlich nur wenn wir wechseln, sobald wird das Auto sehen oder unsere Tür leer ist. Aber richtig zu liegen, wenn man das Auto dort stehen sieht, hat ja auch nichts mit Zufall zu tun.